\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\section*{弧长的数学定义与微分性质}

\subsection*{弧长的数学定义}

弧长是指圆上两点之间的弧段的长度，或者更一般地，是曲线上两点之间的弧段的长度。对于圆上的弧长，其定义基于圆心角和半径。

\begin{definition}[圆上弧长的定义]
设圆$C$的半径为$r$，圆心角为$\theta$（以弧度为单位），则圆上对应的弧长$L$定义为：
\[
L = r \theta
\]
\end{definition}

对于一般曲线上的弧长，其定义涉及曲线方程和弧微分。

\begin{definition}[一般曲线弧长的定义]
设曲线$\gamma(t)$在区间$[a, b]$上是连续的，且$\gamma'(t)$存在且连续。则曲线$\gamma$在$[a, b]$上的弧长$s$定义为：
\[
s = \int_{a}^{b} \|\gamma'(t)\|\, dt
\]
其中，$\|\gamma'(t)\|$表示$\gamma'(t)$的模长，即速度向量的长度。
\end{definition}

\subsection*{弧长的微分性质}

1. \textbf{弧微分公式}：
对于平面曲线$y = f(x)$，其弧微分公式为：
\[
ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx
\]
其中，$ds$表示曲线上一小段弧的长度，$dx$表示对应的$x$坐标的微小变化量。

2. \textbf{弧长函数的单调性}：
对于一条可求长曲线，其弧长函数$s(t)$是单调递增的。这是因为在曲线的任意一点上，弧长的微小增量（即弧微分）总是正的。

3. \textbf{弧长参数的自然性}：
每一条可求长曲线都有以弧长为参数的表示，这种表示称为曲线的自然方程。在自然方程中，曲线的参数$s$就是其弧长，这种参数化方式具有很多便利的数学性质。

4. \textbf{参数曲线和极坐标曲线的弧长公式}：
对于由参数方程或极坐标方程给出的曲线，其弧长公式可以通过相应的弧微分公式来计算。例如，对于参数方程$\gamma(t) = (x(t), y(t))$，其弧长公式为：
\[
s = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt
\]
对于极坐标方程$r = r(\theta)$，其弧长公式为：
\[
s = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2 + (r'(\theta))^2} \, d\theta
\]

\end{document}